Большой форум Павшинской Поймы, уже 10 лет помогает жителям района решать проблемы общими усилиями - Присоединятйесь!

S5
S6

Модератор: Steven

 
Аватара пользователя
maximus
Завсегдатай
Сообщения: 8643
Зарегистрирован: 10 лет 2 месяца 6 дней
Благодарил (а): 620 раз
Поблагодарили: 449 раз
Шахматка: М1, к 16

Re: Весёлая математика

Чт ноя 10, 2011 12:50 pm

Zeos писал(а):
Приветствую возвращение темы!

Вот еще задача:
раскопал журнал 'Наука и жизнь' 1989 г. (расцвет горбачевской перестройки - как мы были наивны! И в каком г. оказались через 20 лет), нашел там интересную задачу:

Шах вызвал к себе двух визирей и сказал им: "О мудрейшие! Я загадал два числа, каждое из которых больше 1. Одному из вас я сообщу сумму (назовем этого визиря 'С'), а второму - произведение (назовем его 'визирь П'). Кроме того, визирь П узнает, что сумма меньше 60. Если вы настолько мудры, как о вас говорят, то назовите загаданные числа." Визири задумались, первым заговорил визирь П:

П: Увы, мой шах, я не могу дать ответ.
С: Я знал это!
П: Тогда я знаю ответ.
С: Тогда и я знаю ответ.

Задача - естественно, какие числа загадал шах. У меня однозначного ответа не получилось , так что приглашаю поделиться соображениями.
числа могут быть одинаковыми?
Спойлер
2 и 3
إن شاء الله‎
 
Zeos
Участник
Сообщения: 134
Зарегистрирован: 7 лет 8 месяцев
Благодарил (а): 18 раз
Поблагодарили: 42 раза

Re: Весёлая математика

Чт ноя 10, 2011 1:38 pm

maximus:

это не решение - многомудрый визирь П может легко разложить произведение на два простых сомножителя, а он сначала сдался (см. первую строчку диалога). Так что все пары простых чисел меньших 60 можно отбросить с самого начала.
 
Аватара пользователя
maximus
Завсегдатай
Сообщения: 8643
Зарегистрирован: 10 лет 2 месяца 6 дней
Благодарил (а): 620 раз
Поблагодарили: 449 раз
Шахматка: М1, к 16

Re: Весёлая математика

Чт ноя 10, 2011 4:26 pm

Zeos писал(а):
maximus:

это не решение - многомудрый визирь П может легко разложить произведение на два простых сомножителя, а он сначала сдался (см. первую строчку диалога). Так что все пары простых чисел меньших 60 можно отбросить с самого начала.
и что?
предложенныей ответ полностью удовлетворяет условиям.
Спойлер
С узнал сумму равную 5
5 как сумму можно разложить только на 2+3 (если мы говорим о числах строго больше 1)
П узнал произведение равное 6
6 можно разложить на множители стргого больше 1 двумя способами 2*3 и .... тупанул...больше низзя

признаю был не прав

кстати я так и не понял.
числа то могут быть одинаковыми или нет?
إن شاء الله‎
 
Zeos
Участник
Сообщения: 134
Зарегистрирован: 7 лет 8 месяцев
Благодарил (а): 18 раз
Поблагодарили: 42 раза

Re: Весёлая математика

Чт ноя 10, 2011 8:27 pm

могут быть одинаковыми - шах на это счет ничего не сказал
 
Zeos
Участник
Сообщения: 134
Зарегистрирован: 7 лет 8 месяцев
Благодарил (а): 18 раз
Поблагодарили: 42 раза

Re: Весёлая математика

Чт ноя 17, 2011 11:20 am

Вот моё решение задачи визиря, однозначного ответа нет. В чем я не прав?

Спойлер
Очевидный ход решения для визиря П. (которому известно произведение загаданных чисел) -
попытаться разложить произведение П и скомбинировать из сомножителей два числа, удовлетворяющих
условиям задачи. Очевидно, сомножителей оказалось более двух - иначе бы он тут же с радостью
доложил шаху о решении задачи.
Визирь С. (тот, кто знает сумму) как-то сумел предугадать неудачу своего напарника, зная только
сумму С. Мне кажется, дело в четности/нечетности числа С. Нечетная сумма может быть образована
только сложением четного (представим его как 2*p1) и нечетного чисел (p2), в этом случае их
произведение заведомо содержит по меньшей мере 3 сомножителя:

П = 2*p1*p2

и проблемы визиря П. весьма вероятны. Четное С. может быть образовано сложением двух простых
чисел, и тогда решение для визиря П. возможно сразу, злорадствовать нечему.

Итак, предположим, что С - нечетное число. Тогда (3-я строка диалога Визирь П.:'Я знаю эти
числа!'), видимо, говорит о том, что визирь П. сделал такой же вывод из возгласа С. и это
помогло ему решить задачу - т.е. из нескольких комбинаций он выбрал единственную, дающую
нечетную сумму слагаемых.
Это означает, что первоначально из имеющихся сомножителей он мог скомбинировать ровно одно
'нечетное' решение и несколько (одно или более) 'четных'. Отсюда вытекает дополнительный
критерий 'правильности' решения - поскольку возможны и четные решения типа (2*p3) и (2*p4), то в
разложении П. присутствуют не одна, а две двойки:

П = 2*2*p3*p4

в 'нечетном' решении все двойки собраны с одной стороны - (2*2*p5) и (p6), p6 не содержит двоек,
т.е. оно из загаданных чисел кратно 4.

Итого, с учетом дополнительного условия задачу (с точки зрения визиря П.) можно сформулировать
так:
1. число П образовано произведением пары чисел, меньших 60
2. из сомножителей П можно образовать несколько подмножеств, перемножение членов каждого
подмножества дает пару чисел. Из полученных пар отбрасываем те, что в сумме превышают 60 и для
оставшихся должно выполняться:
- есть строго одна 'нечетная' пара
- есть одна и или несколько 'четных' пар

Применение мощной вычислительной техники даёт шестьдесят одно такое число П (см. список ниже).

Вернемся теперь к визирю С. Видимо, он пришел к тем же самым выводам, но чтобы С. смог получить
единственное решение на основания известной суммы С из полученного списка нужно вычеркнуть
строчки, для которых сумма нечетного решения одинакова, например:

11=3+8 (П=24)
и
11=4+7 (П=28)

После такого прореживания оcтаётся только 7 решений:

загаданы 3 и 4; C=7, П=12
загаданы 4 и 5; C=9, П=20
загаданы 5 и 8; C=13, П=40
загаданы 4 и 13; C=17, П=52
загаданы 8 и 17; C=25, П=136
загаданы 13 и 16; C=29, П=208
загаданы 16 и 17; C=33, П=272

Однозначного решения не получается. Где я ошибся?


Num of pairs=348
*** (odds=1, evens>0) ***
Mul=12 odds=1 evens=1 * 2 2 3 * Sum: 7=3+4
Mul=20 odds=1 evens=1 * 2 2 5 * Sum: 9=4+5
Mul=24 odds=1 evens=2 * 2 2 2 3 * Sum: 11=3+8
Mul=28 odds=1 evens=1 * 2 2 7 * Sum: 11=4+7
Mul=40 odds=1 evens=2 * 2 2 2 5 * Sum: 13=5+8
Mul=44 odds=1 evens=1 * 2 2 11 * Sum: 15=4+11
Mul=48 odds=1 evens=3 * 2 2 2 2 3 * Sum: 19=3+16
Mul=52 odds=1 evens=1 * 2 2 13 * Sum: 17=4+13
Mul=56 odds=1 evens=2 * 2 2 2 7 * Sum: 15=7+8
Mul=68 odds=1 evens=1 * 2 2 17 * Sum: 21=4+17
Mul=76 odds=1 evens=1 * 2 2 19 * Sum: 23=4+19
Mul=80 odds=1 evens=3 * 2 2 2 2 5 * Sum: 21=5+16
Mul=88 odds=1 evens=2 * 2 2 2 11 * Sum: 19=8+11
Mul=92 odds=1 evens=1 * 2 2 23 * Sum: 27=4+23
Mul=96 odds=1 evens=4 * 2 2 2 2 2 3 * Sum: 35=3+32
Mul=104 odds=1 evens=2 * 2 2 2 13 * Sum: 21=8+13
Mul=112 odds=1 evens=3 * 2 2 2 2 7 * Sum: 23=7+16
Mul=136 odds=1 evens=1 * 2 2 2 17 * Sum: 25=8+17
Mul=152 odds=1 evens=1 * 2 2 2 19 * Sum: 27=8+19
Mul=160 odds=1 evens=3 * 2 2 2 2 2 5 * Sum: 37=5+32
Mul=176 odds=1 evens=2 * 2 2 2 2 11 * Sum: 27=11+16
Mul=184 odds=1 evens=1 * 2 2 2 23 * Sum: 31=8+23
Mul=208 odds=1 evens=2 * 2 2 2 2 13 * Sum: 29=13+16
Mul=228 odds=1 evens=1 * 2 2 3 19 * Sum: 31=12+19
Mul=276 odds=1 evens=1 * 2 2 3 23 * Sum: 35=12+23
Mul=288 odds=1 evens=4 * 2 2 2 2 2 3 3 * Sum: 41=9+32
Mul=224 odds=1 evens=2 * 2 2 2 2 2 7 * Sum: 39=7+32
Mul=272 odds=1 evens=1 * 2 2 2 2 17 * Sum: 33=16+17
Mul=304 odds=1 evens=1 * 2 2 2 2 19 * Sum: 35=16+19
Mul=352 odds=1 evens=2 * 2 2 2 2 2 11 * Sum: 43=11+32
Mul=368 odds=1 evens=1 * 2 2 2 2 23 * Sum: 39=16+23
Mul=392 odds=1 evens=1 * 2 2 2 7 7 * Sum: 57=8+49
Mul=400 odds=1 evens=3 * 2 2 2 2 5 5 * Sum: 41=16+25
Mul=340 odds=1 evens=1 * 2 2 5 17 * Sum: 37=17+20
Mul=380 odds=1 evens=1 * 2 2 5 19 * Sum: 39=19+20
Mul=440 odds=1 evens=2 * 2 2 2 5 11 * Sum: 51=11+40
Mul=460 odds=1 evens=1 * 2 2 5 23 * Sum: 43=20+23
Mul=480 odds=1 evens=4 * 2 2 2 2 2 3 5 * Sum: 47=15+32
Mul=484 odds=1 evens=1 * 2 2 11 11 * Sum: 55=11+44
Mul=456 odds=1 evens=1 * 2 2 2 3 19 * Sum: 43=19+24
Mul=504 odds=1 evens=3 * 2 2 2 3 3 7 * Sum: 45=21+24
Mul=552 odds=1 evens=1 * 2 2 2 3 23 * Sum: 47=23+24
Mul=416 odds=1 evens=1 * 2 2 2 2 2 13 * Sum: 45=13+32
Mul=520 odds=1 evens=1 * 2 2 2 5 13 * Sum: 53=13+40
Mul=572 odds=1 evens=1 * 2 2 11 13 * Sum: 57=13+44
Mul=476 odds=1 evens=1 * 2 2 7 17 * Sum: 45=17+28
Mul=532 odds=1 evens=1 * 2 2 7 19 * Sum: 47=19+28
Mul=560 odds=1 evens=2 * 2 2 2 2 5 7 * Sum: 51=16+35
Mul=588 odds=1 evens=1 * 2 2 3 7 7 * Sum: 49=21+28
Mul=544 odds=1 evens=1 * 2 2 2 2 2 17 * Sum: 49=17+32
Mul=608 odds=1 evens=1 * 2 2 2 2 2 19 * Sum: 51=19+32
Mul=624 odds=1 evens=1 * 2 2 2 2 3 13 * Sum: 55=16+39
Mul=672 odds=1 evens=2 * 2 2 2 2 2 3 7 * Sum: 53=21+32
Mul=612 odds=1 evens=1 * 2 2 3 3 17 * Sum: 53=17+36
Mul=680 odds=1 evens=1 * 2 2 2 5 17 * Sum: 57=17+40
Mul=648 odds=1 evens=1 * 2 2 2 3 3 3 3 * Sum: 51=24+27
Mul=684 odds=1 evens=1 * 2 2 3 3 19 * Sum: 55=19+36
Mul=760 odds=1 evens=1 * 2 2 2 5 19 * Sum: 59=19+40
Mul=780 odds=1 evens=1 * 2 2 3 5 13 * Sum: 59=20+39
Mul=792 odds=1 evens=1 * 2 2 2 3 3 11 * Sum: 57=24+33
Mul=840 odds=1 evens=1 * 2 2 2 3 5 7 * Sum: 59=24+35
Total solutions count=61

*** (odds=1, evens>0) (unique sum) ***
Mul=12 odds=1 evens=1 * 2 2 3 * Sum: 7=3+4
Mul=20 odds=1 evens=1 * 2 2 5 * Sum: 9=4+5
Mul=40 odds=1 evens=2 * 2 2 2 5 * Sum: 13=5+8
Mul=52 odds=1 evens=1 * 2 2 13 * Sum: 17=4+13
Mul=136 odds=1 evens=1 * 2 2 2 17 * Sum: 25=8+17
Mul=208 odds=1 evens=2 * 2 2 2 2 13 * Sum: 29=13+16
Mul=272 odds=1 evens=1 * 2 2 2 2 17 * Sum: 33=16+17
Total solutions count=7
 
Angel
Участник
Сообщения: 672
Зарегистрирован: 10 лет 5 месяцев 14 дней
Благодарил (а): 109 раз
Поблагодарили: 28 раз
Шахматка: М1, к 3

Re: Весёлая математика

Чт ноя 17, 2011 12:41 pm

Zeos писал(а):
Вот моё решение задачи визиря, однозначного ответа нет. В чем я не прав?

Во монстры.....научите также думать :oops:
 
Аватара пользователя
Fabler
Участник
Сообщения: 521
Зарегистрирован: 8 лет 10 месяцев 24 дня
Благодарил (а): 32 раза
Поблагодарили: 104 раза
Шахматка: М1, к 6A

Re: Весёлая математика

Чт ноя 17, 2011 1:16 pm

Zeos писал(а):
Вот моё решение задачи визиря, однозначного ответа нет. В чем я не прав?

Однозначного решения не получается. Где я ошибся?
Спойлер
Убийца - садовник
Все довольно просто: если визирь С знал, что визирь П не узнает числа, значит все возможные пары слагаемых содержат хотя бы одно составное число. Из этих пар, этому условию удовлетворяет только 17 => 4 и 13.
Задачка явно решается проще, но лень думать :-)
 
Zeos
Участник
Сообщения: 134
Зарегистрирован: 7 лет 8 месяцев
Благодарил (а): 18 раз
Поблагодарили: 42 раза

Re: Весёлая математика

Чт ноя 17, 2011 2:46 pm

Fabler:

не понял ограничения по составному числу - кажддое из оставшихся решений содержит такое число (кратное 4), так что опять одного решения нет.
 
Аватара пользователя
Fabler
Участник
Сообщения: 521
Зарегистрирован: 8 лет 10 месяцев 24 дня
Благодарил (а): 32 раза
Поблагодарили: 104 раза
Шахматка: М1, к 6A

Re: Весёлая математика

Чт ноя 17, 2011 3:24 pm

Zeos писал(а):
Fabler:

не понял ограничения по составному числу - кажддое из оставшихся решений содержит такое число (кратное 4), так что опять одного решения нет.

Сумма должна быть такой, что для любой пары слагаемых, хотя бы одно является составным. Если сумма раскладывается на два простых слагаемых, то визирь С не мог сказать что он знал, что второй визирь не сможет узнать числа.
 
Zeos
Участник
Сообщения: 134
Зарегистрирован: 7 лет 8 месяцев
Благодарил (а): 18 раз
Поблагодарили: 42 раза

Re: Весёлая математика

Чт ноя 17, 2011 3:59 pm

Да, всё правильно - двух простых слагаемых быть не может. Но ведь и нет таких пар в моём решении:

3+4
4+5
5+8
4+13
8+17
13+16
16+17

в каждой паре одно из слагаемых - составное. Единственное решение выбрать не получается!
 
Аватара пользователя
Fabler
Участник
Сообщения: 521
Зарегистрирован: 8 лет 10 месяцев 24 дня
Благодарил (а): 32 раза
Поблагодарили: 104 раза
Шахматка: М1, к 6A

Re: Весёлая математика

Чт ноя 17, 2011 5:30 pm

Zeos писал(а):
Да, всё правильно - двух простых слагаемых быть не может. Но ведь и нет таких пар в моём решении:

3+4
4+5
5+8
4+13
8+17
13+16
16+17

в каждой паре одно из слагаемых - составное. Единственное решение выбрать не получается!

Ключевое слово: _любая_ пара слагаемых. Визирь С не знает, какие именно слагаемые, поэтому для уверенности должен рассматривать их все. Например, для суммы 7 возможны простые слагаемые 2 и 5, для 13 - 2 и 11, для 25 - 2 и 23 и т.п. А для 17 все возможные пары слагаемых содержат хотя бы одно составное.
 
ilyamr
Участник
Сообщения: 39
Зарегистрирован: 7 лет 3 месяца 3 дня
Благодарил (а): 3 раза
Шахматка: М1, к 17

Re: Весёлая математика

Чт ноя 17, 2011 6:01 pm

Если не ошибаюсь, то не только для 17, но и для 11, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53, 57
 
Аватара пользователя
Fabler
Участник
Сообщения: 521
Зарегистрирован: 8 лет 10 месяцев 24 дня
Благодарил (а): 32 раза
Поблагодарили: 104 раза
Шахматка: М1, к 6A

Re: Весёлая математика

Пт ноя 18, 2011 12:11 pm

ilyamr писал(а):
Если не ошибаюсь, то не только для 17, но и для 11, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53, 57

Все верно, суммой можен быть любое число меньшее 60 и не являющееся суммой двух простых.
Проблема в том, что существует 172 произведения, зная которые визирь П. мог сказать, что он знает множители,
но я не могу придумать условие при котором их узнаёт визирь С , после того как об этом говорит визирь П.

Пример: для 11 возможные загаданные числа и соответствующие произведения: 5 и 6 - 30, 4 и 7 - 28, 3 и 8 - 24, 2 и 9 - 18.
В случае любого из данных визирю П произведений (30,28,24,18) он может определить множители (пожалуй, кроме 30), но визирю C
это не дает дополнительной информации.
 
ilyamr
Участник
Сообщения: 39
Зарегистрирован: 7 лет 3 месяца 3 дня
Благодарил (а): 3 раза
Шахматка: М1, к 17

Re: Весёлая математика

Пт ноя 18, 2011 2:14 pm

Тут то как раз не сложно, как мне кажется. Визирь С знает сумму и исходя из этого находит правильный вариант. Он, раскладывает сумму на составляющие, находит произведение каждой пары и ищет то произведение, суммы вероятных множителей которого позволяют однозначно вычислить ответ.
Пример:
Сумма 17
=2+15 -> 2*15=30=2*15=3*10=5*6 т.е. суммы 17, 13, 11 - однозначно выяснить нельзя
=3+14 -> 3*14=42=2*21=3*14=6*7 т.е. суммы 23, 17, 13 - однозначно выяснить нельзя
=4+13 -> 4*13=52=2*26=4*13 т.е. суммы 28 и 17 - АГА. однозначно выяснить можно, так как 17 принадлежит ряду вероятных сумм, а 28 нет.
=5+12 -> 60=2*30=3*20=4*15=5*12=6*10 т.е. суммы 32,23,19,17,16 - однозначно выяснить нельзя
=6+11 -> 66=2*33=3*22=6*11 т.е. суммы 35,25,17 - однозначно выяснить нельзя
=7+10 -> 70=2*35=5*14=7*10 т.е. суммы 37,19,17 - однозначно выяснить нельзя
=8+9 -> 72=2*36=3*24=4*18=6*12=8*9 т.е. суммы 38,27,22,18,17 - однозначно выяснить нельзя
При сумме 17 вариант произведения один - 52. Подозреваю, что для всех остальных сумм вариантов может быть больше 1, проверять лень :)
 
Аватара пользователя
Главврач
Участник
Сообщения: 235
Зарегистрирован: 10 лет 3 месяца 16 дней
Благодарил (а): 9 раз
Поблагодарили: 13 раз
Шахматка: М3, к 1В

Re: Весёлая математика

Чт ноя 24, 2011 6:46 pm

так вот еще простенькая
3 возвели в степень 1189, какая цЫфра будет на конце полученного числа? :)
 
Аватара пользователя
maximus
Завсегдатай
Сообщения: 8643
Зарегистрирован: 10 лет 2 месяца 6 дней
Благодарил (а): 620 раз
Поблагодарили: 449 раз
Шахматка: М1, к 16

Re: Весёлая математика

Чт ноя 24, 2011 7:02 pm

Главврач писал(а):
так вот еще простенькая
3 возвели в степень 1189, какая цЫфра будет на конце полученного числа? :)
Спойлер
3

в чем загадка то?
إن شاء الله‎
 
Аватара пользователя
Sham
Участник
Сообщения: 1171
Зарегистрирован: 10 лет 5 месяцев 29 дней
Благодарил (а): 46 раз
Поблагодарили: 55 раз
Шахматка: М2, к 4

Re: Весёлая математика

Чт ноя 24, 2011 9:01 pm

продолжаю жрать кактус…
 
010101
Участник
Сообщения: 972
Зарегистрирован: 9 лет 1 месяц 4 дня
Благодарил (а): 184 раза
Поблагодарили: 223 раза
Шахматка: М2, к15

Re: Весёлая математика

Чт ноя 24, 2011 9:28 pm

:ROFL: Задача. Фермер напился до чертиков и вместо кофе отправил на шоколадную фабрику огурцы. Вопрос: а нафига фабрике делать шоколад, если привалил такой мировой закусон?
 
Zeos
Участник
Сообщения: 134
Зарегистрирован: 7 лет 8 месяцев
Благодарил (а): 18 раз
Поблагодарили: 42 раза

Re: Весёлая математика

Пт ноя 25, 2011 3:24 pm

Шах и визири - принимаю уточнение Fabler: сумма С не может быть образована сложением простых чисел. Этот критерий более жесткий по сранеию с нечетностью, в интервале до 60 ему соотвествуют следующие числа:

11 17 23 27 29 35 37 41 47 51 53 57 59

Далее ищем пересечения со списком возможных произведений П. Получаем два решения:

П=52 С=17, загаданы 4 и 13
П=208 C=29, загаданы 13 и 16

Уже лучше, но одного решения всё равно нет.

И загадку с монетками напрасно забросили - она мне нравится! Говорят, существуют креативные личности, решавшие ее в течении дня.
 
ilyamr
Участник
Сообщения: 39
Зарегистрирован: 7 лет 3 месяца 3 дня
Благодарил (а): 3 раза
Шахматка: М1, к 17

Re: Весёлая математика

Пт ноя 25, 2011 6:28 pm

Одно решение есть. Для того чтобы визирь С в конце сказал что тоже знает ответ необходимо чтобы из всех произведений полученных перемножением всех возможных слагаемых известной ему суммы только одно соответствовало условию - из сумм полученных при сложении вероятных множителей только одна соответствовала ряду 11...59
В случае суммы 29 таких произведений больше одного.

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость
Time: 0.215s | Queries: 26 | Peak Memory Usage: 6.84 МБ